Ruta del año · Matemáticas 1° · Israel Rivas Gutiérrez

La ruta del año

El programa sintético lista contenidos, no una secuencia, y el libro de texto está organizado por proyectos. El orden lo decides tú en el programa analítico — y hay una cadena que no conviene romper.

BaseFracciones, decimales y números con signo

→

PuenteProporcionalidad y patrones

→

SaltoLenguaje algebraico

→

Meta del añoEcuaciones lineales

La geometría de trazo entra temprano (bloques 5 y 6) aunque parezca independiente: alimenta los perímetros algebraicos del bloque 10, la construcción de circunferencias del 12 y las distancias del 13. Y la estadística va al final a propósito: la gráfica circular cobra los ángulos del bloque 5 y los porcentajes del 8, y la frecuencia relativa cobra las fracciones del 2. Al final es un cierre integrador; en octubre es un tema suelto.

TRIMESTRE 1

Número, signo y trazo

S1 – S12

Todo el trimestre sirve a una sola cosa: que el número con signo quede firme. Sin eso, el álgebra de febrero se convierte en memorizar reglas. La geometría de trazo cierra el trimestre porque da un cambio de ritmo y deja material listo para después.

Diagnóstico y puente

Qué haces

Presentación, reglas y rutina de trabajo (los primeros dos días).
Valoración diagnóstica: fracciones y decimales, las cuatro operaciones, medición y lectura de tablas.
Devolución del diagnóstico con el grupo, sin nombres.

Fuera de tabla · arranque de ciclo

Tú, antes de entrar

Doce reactivos que revelen procedimiento, no respuesta: en cada uno pide que escriban cómo lo pensaron.
Ten decidido de antemano qué harás en dos escenarios: "no dominan fracciones" y "sí las dominan".

Trampa clásicaGastar tres semanas "repasando toda la primaria". El diagnóstico informa tu enseñanza, no sustituye el programa: los contenidos de 1° empiezan en la semana 2.

Fracciones ↔ decimales

S2 – S3

PDA oficial

Usa diversas estrategias al convertir números fraccionarios a decimales y viceversa.

Contenido 1 de 14 · 1 PDA

Tú, antes de entrar

La fracción como cociente, no como "pedazo de pastel". Es el cambio conceptual que hace posible la conversión.
Por qué unos decimales terminan y otros no: si el denominador solo tiene factores 2 y 5, es finito.
De periódico a fracción con el argumento de 10x − x. Tenlo escrito; te lo van a pedir.

Trampa clásicaEnseñar solo "divide numerador entre denominador" y quedarte sin respuesta cuando pregunten por qué 1/3 nunca termina.

Ejemplo resuelto · ¿Por qué 7/11 no se acaba nunca?

7 / 11 = ?

  0.6363...
 ______
11) 7.0000

 70 ÷ 11 = 6  sobra 4
 40 ÷ 11 = 3  sobra 7   ← ya salió el 7
 70 ÷ 11 = 6  sobra 4
 40 ÷ 11 = 3  sobra 7

7/11 = 0.636363... = 0.63 periódico

Al revés:
 x       = 0.636363...
 100x    = 63.636363...
 100x − x = 63        (se cancela la cola)
 99x     = 63
 x       = 63/99 = 7/11  ✓

Explicación

En una fraseEl decimal se repite porque el residuo se repite. Al dividir entre 11 solo hay 11 residuos posibles, así que uno tiene que volver a salir, y desde ahí todo se copia.

El decimal se repite porque el residuo se repite. Al dividir entre 11 los únicos residuos posibles son 0, 1, 2, …, 10: son diez. Entonces a más tardar en once pasos alguno tiene que volver a salir, y desde ahí todo se copia.

Eso responde de golpe la pregunta grande: toda fracción da un decimal finito o periódico, nunca uno caótico. Y el camino de regreso funciona porque multiplicar por 100 corre el punto dos lugares, así que la cola infinita queda idéntica en los dos números y se cancela al restar.

El movimiento docenteAntes de dividir, pide que apuesten: "¿este va a terminar o no?". Con 7/40 termina (40 = 2·2·2·5), con 7/11 no. Que descubran el criterio ellos, factorizando denominadores, es media clase que se enseña sola.

Ejemplo resuelto · De 0.8333… a fracción, y de 5/16 a decimal sin dividir

0.8333... = ?

  x    = 0.8333...
 10x   = 8.333...
100x   = 83.333...
100x − 10x = 83.333... − 8.333...
      90x = 75
        x = 75/90 = 5/6

Comprobación: 5 ÷ 6 = 0.8333...  ✓

5/16 = ?  (sin dividir)

16 = 2·2·2·2 = 2⁴   → va a terminar

 5      5 · 625     3125
---- = --------- = ------ = 0.3125
 16     16 · 625    10000

Explicación

En una fraseMultiplicas por 10 y por 100 para que las dos colas infinitas queden idénticas. Al restarlas se borran y queda un número entero.

En el primero se multiplica por 10 y por 100 — no por 10 y por 1000 — porque el periodo tiene una sola cifra. La regla honesta es: corre el punto lo necesario para que las dos colas queden alineadas, y réstalas.

El segundo es el truco que hace visible el criterio: si el denominador es solo 2 y 5, siempre puedes completarlo a una potencia de 10, y una potencia de 10 es un decimal exacto. Con 11 eso es imposible, y por eso no termina.

El movimiento docentePon 5/16, 5/20, 5/24 juntos y que factoricen los tres denominadores antes de tocar la calculadora. Dos terminan, uno no. La regularidad salta.

Números con signo y su orden

S4 – S5

PDA oficial

Reconoce la necesidad de los números negativos a partir de usar cantidades que tienen al cero como referencia.
Compara y ordena números con signo (enteros, fracciones y decimales) en la recta numérica y analiza en qué casos se cumple la propiedad de densidad.

Contenido 2 de 14 · 2 PDA

Tú, antes de entrar

La diferencia entre un cero convencional (temperatura, altitud, saldo, antes y después de Cristo) y un cero absoluto. El primer PDA está construido sobre esa idea.
Densidad: entre −3/4 y −2/3 hay infinitos números y sabes producir tres. Igual de importante, por qué en los enteros no se cumple: ese contraste es el "en qué casos" del PDA.
Orden y distancia son cosas distintas: −18 es menor que 25, pero está más cerca del cero.

Trampa clásicaQue −5 > −2 "porque 5 es más que 2". Se corrige con la recta, no con una regla verbal.

Ejemplo resuelto · Ordenar seis números con signo (y el par que engaña)

Ordena de menor a mayor:
 −3/4   −0.8   −2/3   −0.67   0   1/8

Paso 1: todos a decimal
 −3/4  = −0.75
 −0.8  = −0.8
 −2/3  = −0.6666...
 −0.67 = −0.67
  1/8  =  0.125

Paso 2: en la recta
 −0.8  −0.75  −0.67  −0.667      0    0.125
 ──┼─────┼──────┼──────┼─────────┼──────┼──→

−0.8 < −3/4 < −0.67 < −2/3 < 0 < 1/8

El par que engaña:
 |−0.67|   = 0.6700
 |−2/3|    = 0.6666...
 0.67 > 0.6666  →  −0.67 está MÁS a la
 izquierda  →  −0.67 < −2/3

Explicación

En una fraseEntre negativos, el que está más lejos del cero es el más chico. Por eso menos 0.67 es menor que menos dos tercios, aunque suene al revés.

Casi todo el grupo va a poner −2/3 antes de −0.67, porque "dos tercios se oye más chico". Es el ejercicio perfecto: entre negativos, el que tiene mayor valor absoluto es el menor, y eso solo se ve convirtiendo a decimal con suficientes cifras.

Insiste en que dibujen la recta. Ordenar sin recta es adivinar; ordenar con recta es leer una posición.

El movimiento docenteReparte los seis números en tarjetas y que el grupo se acomode físicamente en una fila al frente del salón. Las discusiones sobre quién va antes son la clase; tú solo moderas.

Ejemplo resuelto · Densidad: tres números entre −0.7 y −0.69, y por qué con enteros no se puede

Da tres números entre −0.7 y −0.69

Truco seguro: el punto medio
 (−0.7 + (−0.69)) / 2 = −1.39/2 = −0.695

Y otra vez, con el nuevo par:
 (−0.7 + (−0.695)) / 2 = −0.6975
 (−0.695 + (−0.69)) / 2 = −0.6925

Nunca se acaba: siempre hay un punto medio.

Ahora entre −3 y −2, solo enteros:
 ... −5  −4  −3  −2  −1  0 ...
 No hay ningún entero en medio.

Conclusión
 Racionales → densos (siempre hay uno en medio)
 Enteros    → NO densos (hay vecinos pegados)

Explicación

En una fraseEntre dos decimales siempre cabe otro: su punto medio. Entre dos enteros seguidos no cabe ninguno. Esa es toda la diferencia.

El PDA dice "analiza en qué casos se cumple la propiedad de densidad", y esa frase es el contenido completo. Sin el contraejemplo de los enteros, la densidad queda como un dato que se memoriza; con él, se vuelve una diferencia real entre dos conjuntos de números.

El método del punto medio les da una herramienta que siempre funciona, y de paso practican suma y división con signo antes de estudiarlas formalmente.

El movimiento docenteJuego de a dos: uno dice un número entre −0.7 y −0.69, el otro tiene que decir uno que esté entre ese y −0.69. Gana quien se queda sin ideas… y nunca se queda sin ideas. Eso es la densidad.

Operaciones con signo, propiedades y jerarquía

S6 – S8

PDA oficial

Reconoce el significado de las cuatro operaciones básicas y sus relaciones inversas al resolver problemas que impliquen el uso de números con signo.
Comprueba y argumenta si cada una de estas operaciones cumple las propiedades: conmutativa, asociativa y distributiva.
Identifica y aplica la jerarquía de operaciones y símbolos de agrupación al realizar cálculos.

Contenido 3 de 14 · 3 PDA

Tú, antes de entrar

Es el bloque que más preparación exige del trimestre. Justificar que menos por menos da más, con la distributiva y con un patrón. No con "así es la regla".
Contraejemplos listos: la resta no es conmutativa ni asociativa. El PDA dice "comprueba y argumenta", o sea que a veces la respuesta correcta es no cumple.
Jerarquía sin potencias: en 1° no van exponentes ni raíces. Aun así ten claro −3² frente a (−3)² para cuando alguien lo traiga.

Trampa clásicaEnseñar las reglas de los signos como cuatro casos memorizables. Funciona en septiembre y se derrumba en febrero con las ecuaciones.

Ejemplo resuelto · Por qué menos por menos da más (dos justificaciones)

1) Por continuidad del patrón

  3 · (−2) = −6
  2 · (−2) = −4     sube 2 cada renglón
  1 · (−2) = −2
  0 · (−2) =  0
 (−1)· (−2) = +2   el patrón manda
 (−2)· (−2) = +4

2) Por la propiedad distributiva

 Sabemos:  (−1) · 0 = 0
 Y también: 0 = 1 + (−1)

 Entonces:
  0 = (−1) · (1 + (−1))
  0 = (−1)·1 + (−1)·(−1)
  0 = −1 + (−1)·(−1)

 Para que dé 0, el hueco debe ser +1:
  (−1)·(−1) = 1

Explicación

En una frasePrimero multiplicaciones y divisiones, después sumas y restas. Y para tumbar una propiedad basta un solo contraejemplo.

En una fraseMenos por menos da más porque es la única manera de que la propiedad distributiva siga funcionando. No es un capricho: es una consecuencia.

La primera justificación convence al grupo; la segunda es la que explica. La regla de los signos no es un capricho: es la única definición posible si queremos que la distributiva siga funcionando. Ese es el argumento que necesitas tener en la punta de la lengua, porque alguien va a preguntar.

Y guarda esta clase: cuando en febrero un alumno reste mal en una ecuación, vuelves al patrón en treinta segundos en lugar de repetir la regla.

El movimiento docenteEscribe solo la columna del patrón hasta 0 · (−2) = 0 y pregunta: "¿qué debería seguir?". Que lo predigan ellos. Después presentas la justificación con la distributiva como "la razón de fondo".

Ejemplo resuelto · Jerarquía paso a paso, y los contraejemplos de la resta

Calcula:  −12 ÷ (−3) + 2 · (−5) − (−4)

1º divisiones y multiplicaciones,
   de izquierda a derecha
 −12 ÷ (−3) = 4
 2 · (−5)   = −10

2º sumas y restas
 4 + (−10) − (−4)
 = 4 − 10 + 4
 = −2

¿La resta es conmutativa?
  5 − 3 =  2
  3 − 5 = −2      NO cumple

¿La resta es asociativa?
 (8 − 3) − 2 = 5 − 2 = 3
  8 − (3 − 2) = 8 − 1 = 7   NO cumple

Ojo con el exponente (esto es de 2°,
pero pregúntalo si sale):
  −3² = −(3·3) = −9
 (−3)² = (−3)(−3) = +9

Explicación

Lo importante del segundo PDA es que la respuesta correcta a veces es "no cumple". Un alumno que solo ha visto propiedades que se cumplen aprende que las propiedades son adornos; uno que encuentra un contraejemplo aprende lo que significa una propiedad.

Un contraejemplo basta. No hay que probar que la resta nunca es conmutativa: con un solo par de números ya quedó refutada. Ese hábito lógico vale más que el ejercicio.

El movimiento docenteReparte cuatro afirmaciones — dos verdaderas y dos falsas — y pide que cada equipo o la justifique o la tumbe con un ejemplo. Se discute solo.

Rectas y ángulos

S9 – S10

PDA oficial

Explora las figuras básicas como rectas y ángulos y su notación.
Encuentra y calcula los ángulos que se forman al intersecar dos segmentos.

Contenido 8 de 14 · 2 PDA

Tú, antes de entrar

Notación impecable: recta, semirrecta, segmento, ∠ABC. El PDA nombra la notación explícitamente y tus alumnos copian exactamente lo que ven en el pizarrón.
Opuestos por el vértice, adyacentes, complementarios y suplementarios — con la justificación de por qué los opuestos son iguales.
Transportador: la doble escala. Practica medir obtusos sin equivocarte de fila.

Trampa clásicaEscribir "el ángulo A" cuando hay tres ángulos en el vértice A. Esa ambigüedad se hereda todo el año.

Ejemplo resuelto · Dos rectas se cruzan y un ángulo mide 43°

Dos rectas se cortan en O.
Un ángulo mide 43°. ¿Los otros tres?

        \  43°  /
         \    /
     b    \  /   a = 43°
   ────────O────────
          / \
         /   \    c
        /  d  \

a y b son adyacentes: forman
un ángulo llano (180°)
 b = 180° − 43° = 137°
 c = 180° − 43° = 137°
 d = 180° − 137° = 43°

¿Por qué a = d siempre?
 a + b = 180°   (llano)
 b + d = 180°   (llano)
 → a = 180° − b  y  d = 180° − b
 → a = d  Los opuestos por el
   vértice son iguales. Demostrado.

Explicación

En una fraseLos ángulos opuestos por el vértice son iguales porque los dos salen de restarle el mismo ángulo a 180°.

Esta es la primera demostración de su vida y es completamente accesible: dos igualdades y una sustitución. No la desperdicies dando el resultado como dato ("los opuestos son iguales"). Deriva el 137° con ellos, luego el 43°, y solo entonces pregunta: "¿esto va a pasar siempre o nos tocó suerte?".

Que noten además que con un solo dato quedaron determinados los cuatro ángulos. Esa idea — un dato que fija todo lo demás — es la misma que van a usar en construcciones y en ecuaciones.

El movimiento docenteQue cada quien dibuje dos rectas cruzadas con la inclinación que quiera, mida sus cuatro ángulos con transportador y compare con el vecino. Los números cambian; la relación no. La generalidad se ve en la variedad, no en un solo dibujo.

Regla y compás: construcción y clasificación

S11 – S12

PDA oficial

Utiliza la regla y el compás para trazar: punto medio, mediatriz de un segmento, segmentos y ángulos congruentes, bisectriz de un ángulo, rectas perpendiculares y rectas paralelas.
Identifica y traza las rectas notables en triángulos y cuadriláteros.
Construye y clasifica triángulos y cuadriláteros a partir del análisis de distinta información.

Contenido 9 de 14 · 3 PDA

Tú, antes de entrar

Los seis trazos, a mano, con compás físico, hasta que salgan limpios en menos de un minuto cada uno. Es entrenamiento motriz: no se sustituye leyendo.
Por qué la mediatriz funciona: es el lugar de los puntos equidistantes. Ese argumento reaparece en el bloque 12.
Las cuatro rectas notables del triángulo y sus puntos: circuncentro, incentro, baricentro, ortocentro.

Trampa clásicaResolverlo con GeoGebra. El PDA dice regla y compás, y el trazo físico es donde se construye la intuición. Usa el software después, para verificar.

Ejemplo resuelto · La mediatriz, paso a paso, y por qué funciona

Traza la mediatriz de AB

1. Abre el compás MÁS de la mitad de AB.
2. Centro en A: arco arriba y abajo.
3. Mismo radio, centro en B: dos arcos más.
4. Los arcos se cruzan en P y Q.
5. Une P con Q: esa recta es la mediatriz.

        P
        |
   A ───┼─── B
        |
        Q

¿Por qué funciona?

 PA = PB   (mismo radio del compás)
 QA = QB   (mismo radio del compás)

 P y Q están a igual distancia de A y B.
 → la recta PQ es el conjunto de puntos
   equidistantes de A y B
 → corta a AB exactamente a la mitad
   y en ángulo recto.

De paso: el cruce con AB es el punto medio.

Explicación

En una fraseEl compás garantiza distancias iguales. La recta que une los dos cruces es la de los puntos que están a la misma distancia de A y de B.

El paso 1 es donde falla la mitad del grupo: si abren el compás menos de la mitad, los arcos no se cruzan y no entienden por qué. Que les pase, y que expliquen por qué pasó. Es mejor clase que la advertencia.

La justificación es una sola frase — los radios iguales garantizan distancias iguales — y es la misma que usarás en el bloque 12 para encontrar el centro de la circunferencia que pasa por tres puntos. Dilo hoy y cóbralo en abril.

El movimiento docenteContexto que lo hace obvio: dos casas A y B quieren un pozo que esté a la misma distancia de las dos. ¿Dónde puede ir? En cualquier punto de la mediatriz. La figura deja de ser un trazo y se vuelve una respuesta.

Ejemplo resuelto · ¿Existe un triángulo de 3, 4 y 8 cm? Existencia y unicidad

Construye un triángulo de lados
3 cm, 4 cm y 8 cm

1. Traza el lado de 8 cm.
2. Compás en un extremo, radio 3 cm: arco.
3. Compás en el otro, radio 4 cm: arco.
4. Los arcos NO se cruzan.

   ( 3        4 )
 A ─────────────── B
        8 cm

 3 + 4 = 7  <  8   → imposible

Ahora 3, 4 y 6 cm:
 3 + 4 = 7 > 6  ✓
 3 + 6 = 9 > 4  ✓
 4 + 6 = 10 > 3 ✓
 → los arcos se cruzan: sí existe

¿Y es único?
 Con los TRES lados dados: sí, uno solo
 (sale igual aunque lo gires o reflejes).
 Con los tres ÁNGULOS dados: infinitos
 (todos con la misma forma, distinto tamaño).

Explicación

En una fraseSi los dos lados chicos no suman más que el grande, los arcos del compás nunca se cruzan y el triángulo no existe.

En una fraseEl centro tiene que estar en las dos mediatrices a la vez, y dos rectas se cruzan en un solo punto. Por eso hay una sola circunferencia.

Aquí el compás demuestra un teorema. Los arcos que no se cruzan son la desigualdad del triángulo, antes de que aparezca la palabra — y el bloque 13 nada más le va a poner nombre.

Regla práctica para el cuaderno: basta comprobar que los dos lados menores sumen más que el mayor. Si eso se cumple, las otras dos comparaciones se cumplen solas.

La pregunta de unicidad es la que da sentido al PDA "construye y clasifica a partir de distinta información": tres lados fijan un triángulo, tres ángulos no.

El movimiento docentePopotes o tiras de papel de 3, 4, 6 y 8 cm en cada mesa. Que intenten cerrar el triángulo con las manos antes de tocar el compás. El fracaso físico con el 8 es la clase entera.

TRIMESTRE 2

De la variación al álgebra

S13 – S23

El trimestre decisivo. La ruta patrones → generalización → variable → ecuación es la que evita que el álgebra se viva como manipulación de símbolos sin sentido. Si te sobran semanas de holgura, mételas aquí, en los bloques 10 y 11.

Proporcionalidad y funciones

S13 – S15

PDA oficial

Relaciona e interpreta relaciones proporcional y no proporcional a partir de su representación tabular, gráfica y con diagramas.
Modela y resuelve diversas situaciones a través de ecuaciones proporcionales con constante positiva y negativa.

Contenido 7 de 14 · 2 PDA

Tú, antes de entrar

El criterio real: el cociente y/x es constante. Y que y = kx + b es lineal pero no proporcional — la distinción que casi nadie prepara.
Constante negativa: el PDA lo pide explícitamente y necesitas un contexto honesto, no forzado.
Por qué la gráfica proporcional pasa por el origen, dicho como consecuencia y no como característica que se memoriza.

Trampa clásicaRegla de tres como receta. Resuelve el ejercicio y bloquea la comprensión de la función lineal que viene en 2°.

Ejemplo resuelto · Tres tablas: ¿cuál es proporcional?

¿Cuál de las tres es proporcional?

TABLA A      TABLA B      TABLA C
 x    y       x    y       x    y
 2    6       2    7       2    4
 5   15       5   16       5   25
 8   24       8   25       8   64

Prueba: divide y entre x

A: 6/2=3    15/5=3    24/8=3
   constante → PROPORCIONAL, y = 3x

B: 7/2=3.5  16/5=3.2  25/8=3.125
   no constante → NO proporcional
   pero sube 3 por cada 1 de x:
   y = 3x + 1  (lineal, no proporcional)

C: 4/2=2    25/5=5    64/8=8
   ni lo uno ni lo otro: y = x²

La prueba definitiva: ¿qué pasa si x = 0?
 A: y = 0   ✓ pasa por el origen
 B: y = 1   ✗ arranca en 1

Explicación

En una fraseProporcional no es lo mismo que lineal. Proporcional es cuando y entre x siempre da lo mismo, y por eso la gráfica arranca en cero.

La tabla B es la que enseña. Sube de manera perfectamente regular, se ve "proporcional" a simple vista, y no lo es. Lineal y proporcional no son sinónimos: proporcional es el caso particular en que la recta pasa por el origen.

El criterio "¿qué pasa cuando x vale 0?" es más rápido y más significativo que cualquier cociente: cero galletas cuestan cero pesos, pero un taxi con cero kilómetros ya cobra banderazo. El banderazo es la b.

El movimiento docentePide que inventen un contexto para cada tabla. Para A sale solo. Para B alguien va a decir "el taxi" o "la mensualidad más la inscripción", y en ese momento entendieron la diferencia mejor que con cualquier definición.

Ejemplo resuelto · Constante negativa: la temperatura y la altura

Por cada kilómetro que subes, la
temperatura baja 6 °C. Modela el cambio.

 h = kilómetros que subes
 t = cambio de temperatura

    h  |  t
   ----+------
    0  |    0
    1  |   −6
    2  |  −12
    3  |  −18

 t/h = −6/1 = −12/2 = −18/3 = −6
 constante → es proporcional, con k = −6

        t = −6h

A 3.5 km:  t = −6(3.5) = −21 °C

Gráfica: recta que baja, y pasa por (0,0)

 t
 0 ┼──┬──┬──┬──→ h
   |  \
 −6┤   \
   |    \
−12┤     \
   |      \
−18┤       •

Explicación

En una fraseSigue siendo proporcional aunque la cantidad baje: lo que importa es que el cociente sea constante, no que sea positivo.

Este PDA se salta casi siempre porque los ejemplos de proporcionalidad que trae la memoria son todos de precios y recetas, donde k es positiva. Aquí la constante negativa tiene un significado leíble: no es que "haya menos", es que la cantidad cambia en dirección contraria.

Sigue siendo proporcionalidad porque el cociente es constante y porque en cero no hay cambio: si no subes, la temperatura no cambia. Es el mismo criterio de siempre, con el signo puesto.

Otros contextos honestos: el saldo de una tarjeta de transporte que baja por viaje, la profundidad de un buzo por minuto de descenso, el agua que pierde un tinaco por hora.

El movimiento docenteQue grafiquen t = −6h y y = 6x en el mismo plano. Ver las dos rectas cruzándose en el origen, una subiendo y otra bajando, dice más sobre el signo de k que cualquier explicación.

Porcentajes

S16 – S17

PDA oficial

Resuelve problemas de porcentajes en diversas situaciones.

Contenido 6 de 14, tercer PDA · adelantado aquí por afinidad con proporcionalidad

Tú, antes de entrar

El porcentaje como operador multiplicativo: subir 15% es ×1.15, bajar 15% es ×0.85. Con eso los problemas encadenados se vuelven simples.
El problema inverso: el precio ya incluye IVA, halla el original.
Que los porcentajes sucesivos no se suman.

Trampa clásicaCreer que 20% de descuento y luego 20% de aumento devuelve el precio original.

Ejemplo resuelto · −20% y luego +20%: la clase que engancha

Un tenis cuesta $500. Le bajan 20%.
Al mes le suben 20%. ¿Cuánto cuesta?

Casi todos van a decir $500. Veamos.

 Bajar 20%  →  queda el 80%  →  × 0.80
 Subir 20%  →  queda el 120% →  × 1.20

 500 × 0.80 = 400
 400 × 1.20 = 480

¿Por qué no volvió a 500?

 0.80 × 1.20 = 0.96
 → el precio final es el 96% del original
 → se perdió 4%

La razón: el 20% que bajó se calculó
sobre 500, y el 20% que subió se calculó
sobre 400. No son la misma cantidad.

Sube 10% y luego otro 10%:
 1.10 × 1.10 = 1.21  →  21%, no 20%

Explicación

En una fraseNo vuelve al precio original porque el 20% que bajó se calculó sobre 500 y el que subió se calculó sobre 400. No son la misma cantidad.

Pídeles que voten antes de calcular. La mayoría va a apostar a 500, y esa apuesta equivocada es lo que hace memorable la clase. Enseñar el resultado sin la apuesta previa desperdicia el mejor problema del bloque.

El porcentaje como multiplicador (×0.80, ×1.20) no es un atajo de calculadora: es lo que hace visible por qué no se cancelan. Con regla de tres el fenómeno queda escondido en dos operaciones separadas.

La pregunta que cierra: "¿y si primero suben y luego bajan?". Igual da 480, porque 1.20 × 0.80 es lo mismo. El orden no importa — y ahí se conecta con la conmutatividad del bloque 4.

El movimiento docenteTrae ofertas reales de tiendas o pantallazos del Buen Fin. "20% + 10% adicional" no es 30%: es 0.8 × 0.9 = 0.72, o sea 28%. Es el uso más inmediatamente útil de todo el año.

Ejemplo resuelto · El problema inverso: quitar el IVA

Un artículo cuesta $348 con IVA (16%).
¿Cuánto cuesta sin IVA?

Lo que casi todos hacen (mal):
 348 × 0.84 = 292.32   ✗

Por qué está mal: el 16% se calculó
sobre el precio SIN IVA, no sobre 348.

Lo correcto: llamar x al precio sin IVA
 x + 16% de x = 348
 x · 1.16     = 348
 x = 348 / 1.16 = 300

Comprobación:
 300 × 0.16 = 48
 300 + 48   = 348  ✓

Y el error de arriba, comprobado:
 292.32 × 1.16 = 339.09  ✗ no da 348

Explicación

En una fraseNo se le resta 16% al total. El 16% se le sumó al precio sin IVA, así que para regresar hay que dividir entre 1.16.

El error de restar 16% al total es el más común entre adultos, no solo entre alumnos de doce años. La causa es siempre la misma: no identificar sobre qué cantidad se calculó el porcentaje.

Fíjate en algo importante para tu planeación: la solución correcta ya es una ecuación. Este ejercicio, puesto en enero, prepara el bloque 11 sin anunciarlo, y en marzo puedes volver a él y resolverlo formalmente.

Y la comprobación no es un adorno: enseña a los alumnos a auditar su propia respuesta. Si al multiplicar de regreso no da el dato original, algo estuvo mal. Ese hábito les sirve el resto de su vida escolar.

El movimiento docenteQue traigan un ticket real de la tienda, con el desglose de IVA. Recalcularlo con sus datos convierte el ejercicio en una verificación de algo que ya existe, y nadie discute si el resultado importa.

Regularidades y patrones

S18 – S19

PDA oficial

Representa algebraicamente una sucesión con progresión aritmética de figuras y números.

Contenido 4 de 14 · 1 PDA

Tú, antes de entrar

Leer la diferencia común en el dibujo: qué se agrega de una figura a la siguiente. De ahí sale la regla, no de una fórmula dada.
Las dos formas equivalentes, a₁ + (n−1)d y dn + c, y saber pasar de una a otra.
Contar la misma figura de dos maneras para obtener dos expresiones equivalentes. Es la mejor entrada al álgebra que ofrece el programa.

Trampa clásicaPedir "el siguiente término". El PDA pide la expresión algebraica; quedarse en el término siguiente deja el contenido sin cubrir.

Ejemplo resuelto · Cuadrados con palillos: la misma figura contada de dos maneras

Cuadrados pegados en fila.
¿Cuántos palillos para n cuadrados?

 Fig 1     Fig 2       Fig 3
 ┌─┐      ┌─┬─┐      ┌─┬─┬─┐
 └─┘      └─┴─┘      └─┴─┴─┘
  4         7          10

MANERA 1: el primero y los que siguen
 El primer cuadrado usa 4.
 Cada cuadrado nuevo agrega 3.
   4 + 3(n − 1)
 = 4 + 3n − 3
 = 3n + 1

MANERA 2: por columnas
 Cada cuadrado aporta 3 palillos
 (arriba, abajo, y el vertical izquierdo)
 y al final sobra 1 vertical:
   3n + 1

Comprobación
 n=1 → 4 ✓   n=2 → 7 ✓   n=3 → 10 ✓
 n=50 → 3(50)+1 = 151

Explicación

En una fraseDos maneras de contar la misma figura dan dos expresiones distintas que valen lo mismo. Eso es equivalencia algebraica, con palillos.

Dos conteos distintos, la misma expresión. Eso es equivalencia algebraica antes del álgebra: 4 + 3(n−1) y 3n + 1 se ven diferentes y son lo mismo. Cuando en el bloque 10 tengan que reducir términos semejantes, ya lo habrán vivido con palillos.

El paso 4 + 3(n−1) = 3n + 1 es su primera manipulación algebraica con sentido: no es una regla, es la traducción de dos maneras de contar la misma cosa.

El movimiento docentePregunta por la figura 50, no por la figura 4. Con la 4 pueden dibujar; con la 50 tienen que pensar. Y cuando dos equipos lleguen a expresiones distintas — 3n+1 y 4+3(n−1) — no digas cuál está bien: pide que comprueben las dos con n=3. Descubrir que ambas sirven vale más que la respuesta.

Ejemplo resuelto · De una sucesión numérica a su regla general

7, 11, 15, 19, 23, ...
Encuentra la regla y el término 50.

Paso 1: la diferencia
 7 → 11 → 15 → 19 → 23
   +4    +4    +4    +4
 d = 4  (progresión aritmética)

Paso 2: la fórmula
 aₙ = a₁ + (n − 1)d
 aₙ = 7 + (n − 1)(4)
 aₙ = 7 + 4n − 4
 aₙ = 4n + 3

Paso 3: comprobar SIEMPRE con n = 1
 4(1) + 3 = 7  ✓

Paso 4: lo que pedían
 a₅₀ = 4(50) + 3 = 203

Atajo para hallar el "+3":
 la tabla de multiplicar del 4 es
 4, 8, 12, 16...  y la sucesión es
 7, 11, 15, 19... → siempre 3 más.

Explicación

En una fraseLa diferencia común es la tabla de multiplicar que va por debajo. El número que se suma o se resta al final es solo el ajuste.

El atajo del final es el que de verdad usan los alumnos: la diferencia común es la tabla que va por debajo, y el término independiente es el ajuste. Enseñado así, no hay fórmula que memorizar; la fórmula queda como confirmación.

La comprobación con n = 1 es obligatoria y no negociable. El error más frecuente es escribir 4n + 7 — confundir el primer término con el ajuste — y se detecta en cinco segundos: 4(1) + 7 = 11, y el primero era 7.

El movimiento docenteQue un equipo invente una sucesión aritmética y le pase a otro equipo solo cuatro términos. El segundo equipo tiene que devolver la regla, y el primero verifica. Se corrigen entre ellos y tú caminas.

Introducción al álgebra

S20 – S21

PDA oficial

Interpreta y plantea diversas situaciones del lenguaje común al lenguaje algebraico y viceversa.
Representa algebraicamente perímetros de figuras.

Contenido 5 de 14 · 2 PDA

Tú, antes de entrar

Los tres papeles de la letra: incógnita (un valor por hallar), número general (cualquier valor) y relación funcional (varía con otra). Confundirlos es el origen de casi todo atasco algebraico.
Reducción de términos semejantes con apoyo geométrico y con verificación numérica.
Los perímetros salen de las figuras que ya construyeron en el bloque 6. Reúsalas literalmente.

Trampa clásicaEl error de conjunción: leer 3n como "3 y n", y aceptar 3n para "3 más que n". Detéctalo la primera semana o se instala.

Ejemplo resuelto · Seis enunciados que suenan casi igual

Traduce al lenguaje algebraico
(n = un número cualquiera)

 el doble de un número .............. 2n
 un número aumentado en 2 .......... n + 2
 el doble de un número, más uno .... 2n + 1
 el doble del siguiente ............ 2(n + 1)
 la mitad de un número ............. n / 2
 dos menos que un número ........... n − 2

Los dos que se confunden siempre:

 "el doble de un número más uno"
   2n + 1     ¿o?     2(n + 1)

 Con n = 5:
   2(5) + 1 = 11
   2(5 + 1) = 12     no son lo mismo

Y al revés — traduce a español:
 3(n − 4)  →  el triple de un número
             disminuido en 4
 3n − 4    →  el triple de un número,
             menos 4

Explicación

En una fraseEl paréntesis es la puntuación del álgebra: es lo único que distingue 2n+1 de 2(n+1). Ante la duda, evalúa con un número.

El español es ambiguo y el álgebra no. "El doble de un número más uno" se puede leer de dos formas, y el paréntesis es lo que resuelve la ambigüedad. Enseñar eso — que el paréntesis es puntuación matemática — vale más que veinte traducciones correctas.

La prueba con n = 5 es la herramienta que quieres que se les quede: ante la duda, evalúa. No hace falta discutir cuál interpretación es correcta si se puede comprobar en diez segundos.

Y vigila el error de conjunción: un alumno que escribe 3n para "3 más que n" está leyendo la letra como una etiqueta, no como un número. Se corrige preguntándole cuánto vale su expresión si n = 10.

El movimiento docenteDictado inverso: tú escribes la expresión, ellos escriben el enunciado en español. Es más difícil y revela mucho más que la traducción en la dirección de siempre.

Ejemplo resuelto · Perímetros con letra, y por qué 2x + 3x² no se reduce

Perímetro de un rectángulo de base
x + 3 y altura x

      x + 3
   ┌─────────┐
 x │         │ x
   └─────────┘
      x + 3

 P = (x+3) + x + (x+3) + x
 P = x + 3 + x + 3 + x + x
 P = 4x + 6

Comprobación con x = 5:
 base = 8, altura = 5
 P = 8 + 5 + 8 + 5 = 26
 4(5) + 6 = 26  ✓

¿Se puede reducir 2x + 3x² ?

Alguien va a escribir 5x³ o 5x².
Comprobémoslo con x = 2:

 2x + 3x² = 2(2) + 3(4) = 4 + 12 = 16
 5x²      = 5(4)        = 20   ✗
 5x³      = 5(8)        = 40   ✗

 No son lo mismo: no se reduce.

Explicación

En una fraseSustituir un número y comprobar es la manera de saber si una manipulación algebraica es válida. Es su mejor defensa contra el álgebra inventada.

La comprobación numérica es la única defensa real contra el álgebra inventada. Un alumno que aprende a sustituir un valor y verificar puede detectar sus propios errores todo el año sin que tú se los señales. Enséñaselo aquí, en la primera semana de álgebra, y te ahorra correcciones hasta junio.

Los términos semejantes se suman porque cuentan lo mismo: cuatro lados de longitud x son 4x, igual que cuatro manzanas son cuatro manzanas. x y x² no cuentan lo mismo — uno es longitud y el otro área — y por eso no se pueden juntar. Ese apoyo geométrico hace la regla innecesaria.

El movimiento docenteQue midan el perímetro de sus propias figuras del bloque 6 poniéndole letra a un lado. Al reusar sus construcciones, el álgebra deja de ser un tema nuevo y se vuelve una forma más corta de decir lo que ya sabían.

Ecuaciones lineales

S22 – S23

PDA oficial

Resuelve ecuaciones de la forma Ax=B, Ax+B=C, Ax+B=Cx+D con el uso de las propiedades de la igualdad.
Modela y resuelve problemas cuyo planteamiento es una ecuación lineal.

Contenido 6 de 14 · 2 PDA (el tercero se trabajó en el bloque 8)

Tú, antes de entrar

Resolver por propiedades de la igualdad: la misma operación en ambos miembros, escrita renglón por renglón. El PDA lo dice con esas palabras y no es un detalle de estilo.
El caso con incógnita en los dos miembros, que es el salto real de dificultad.
La verificación como parte del procedimiento, siempre. Y ten a mano un caso sin solución y uno con infinitas.

Trampa clásica"Pásalo al otro lado cambiando el signo". Es el atajo más costoso del año: resuelve 1° y hunde los sistemas de 2° y la cuadrática de 3°.

Ejemplo resuelto · 5x − 3 = 2x + 9, con la propiedad anotada en cada renglón

Resuelve  5x − 3 = 2x + 9

 5x − 3 = 2x + 9
                    resto 2x en los DOS lados
 5x − 3 − 2x = 2x + 9 − 2x
 3x − 3 = 9
                    sumo 3 en los DOS lados
 3x − 3 + 3 = 9 + 3
 3x = 12
                    divido entre 3 los DOS lados
 3x/3 = 12/3
 x = 4

Verificación (obligatoria):
 izquierda: 5(4) − 3 = 20 − 3 = 17
 derecha:   2(4) + 9 = 8 + 9  = 17   ✓

La balanza
 Una ecuación es una balanza en equilibrio.
 Lo que le quitas a un platillo se lo
 quitas al otro, o se cae. Nada "pasa"
 de lado: se quita de los dos.

Explicación

En una fraseNo se pasa nada de lado: se hace la misma operación en los dos miembros, como en una balanza. Los renglones intermedios son el contenido.

Los renglones intermedios — esos que parecen redundantes — son el contenido. El PDA pide explícitamente resolver "con el uso de las propiedades de la igualdad", y esos renglones son las propiedades. Quítalos y queda el atajo.

La diferencia se cobra en 2°: un alumno que entendió "hago lo mismo en ambos lados" puede resolver un sistema por eliminación sin que le enseñes nada nuevo. Uno que aprendió "pasa y cambia el signo" no tiene de dónde agarrarse.

La imagen de la balanza es obligatoria, y de preferencia física: una percha con clips, o dos vasos con canicas. La igualdad tiene que verse como equilibrio antes de verse como renglón.

El movimiento docenteProhíbe la palabra "pasar" en tu salón, con humor y desde el primer día del bloque. Cada vez que alguien la diga, pregunta: "¿qué operación le hiciste a los dos lados?". En dos semanas el vocabulario cambia y con él el razonamiento.

Ejemplo resuelto · De un problema a una ecuación, y los dos casos raros

"Pienso un número, lo multiplico por 4
y le resto 7. Obtengo lo mismo que si al
número le sumara 5. ¿Qué número pensé?"

Traducción, frase por frase:
 el número .................... x
 lo multiplico por 4 .......... 4x
 le resto 7 ................... 4x − 7
 "obtengo lo mismo que" ....... =
 al número le sumo 5 .......... x + 5

      4x − 7 = x + 5

 4x − 7 − x = x + 5 − x
 3x − 7 = 5
 3x = 12
 x = 4

Verificación: 4(4) − 7 = 9 ; 4 + 5 = 9 ✓

Los dos casos que van a aparecer

 2x + 3 = 2x + 5
 2x + 3 − 2x = 2x + 5 − 2x
 3 = 5   falso → NO tiene solución

 2(x + 1) = 2x + 2
 2x + 2 = 2x + 2
 0 = 0   siempre cierto → infinitas

Explicación

En una fraseTraduce frase por frase antes de resolver. Y si al final queda 3 = 5, no es un error: la ecuación no tiene solución.

La traducción frase por frase, escrita en columna, es el andamio que necesitan. El error típico no es el álgebra: es plantear mal. Que escriban primero qué representa x — con palabras, en el cuaderno — antes de tocar la ecuación.

Los dos casos raros no son curiosidades para alumnos avanzados: van a salir por accidente cuando alguien se equivoque, y si no los has visto vas a decir "está mal" cuando en realidad la ecuación no tiene solución. Que sepan que 3 = 5 no es un error de procedimiento sino una conclusión: no existe número que cumpla eso.

El movimiento docenteAl revés: dales la ecuación 4x − 7 = x + 5 y pide que inventen el problema. Salen historias de dinero, edades y canicas, y en el camino tienen que entender qué significa cada término. Es el ejercicio que mejor distingue quién entendió.

TRIMESTRE 3

Medida, datos y azar

S24 – S34

Cierre integrador. Casi todo aquí cobra algo de los trimestres anteriores: la circunferencia usa las mediatrices del bloque 6, la gráfica circular usa los ángulos del 5 y los porcentajes del 8, la frecuencia relativa usa las fracciones del 2. Es el trimestre natural para el proyecto comunitario.

Circunferencia y círculo

S24 – S25

PDA oficial

Identifica y traza las rectas notables en la circunferencia y las relaciones entre ellas.
Investiga figuras relacionadas con círculos y propiedades de los círculos.
Construye circunferencias a partir de distinta información.
Verifica los criterios de existencia y unicidad de estas figuras.

Contenido 10 de 14 · 4 PDA · la esfera que nombra el contenido corresponde a 3°

Tú, antes de entrar

Vocabulario preciso: radio, cuerda, diámetro, secante, tangente, arco. Y que la tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto.
Existencia y unicidad, que es el PDA que más se salta: por tres puntos no colineales pasa una sola circunferencia.
Circunferencia (la línea) y círculo (la región) son cosas distintas. El programa las distingue.

Trampa clásicaDar el vocabulario como lista para memorizar. Cada término debe aparecer resolviendo un trazo, no antes.

Ejemplo resuelto · La circunferencia que pasa por tres puntos (y por qué es única)

Dados tres puntos A, B, C no alineados,
traza la circunferencia que pasa
por los tres.

1. Traza la mediatriz de AB.
2. Traza la mediatriz de BC.
3. Se cruzan en un punto: llámalo O.
4. Abre el compás de O a A y traza.
   Pasa por B y por C también.

        A
       / \
      /   \
     B─────C     O = cruce de mediatrices

¿Por qué funciona?
 O está en la mediatriz de AB → OA = OB
 O está en la mediatriz de BC → OB = OC
 → OA = OB = OC
 Las tres distancias son iguales: son
 el radio. O es el centro.

¿Por qué es la ÚNICA?
 Cualquier centro tendría que estar en
 las dos mediatrices a la vez. Dos rectas
 no paralelas se cortan en UN solo punto.
 → hay un solo centro → una sola
   circunferencia.

Con solo DOS puntos: infinitas
(todo el eje de la mediatriz sirve
de centro).

Explicación

Este es el momento en que la mediatriz del bloque 6 cobra su deuda. Si en octubre solo la trazaron como receta, aquí no van a poder; si entendieron que es el lugar de los puntos equidistantes, la construcción es evidente y la explican ellos.

El argumento de unicidad es de una elegancia que sí se puede apreciar a los doce años: no hay que revisar todas las circunferencias posibles, basta notar que el centro está forzado. Ese tipo de razonamiento — "solo puede haber uno porque…" — es lo que el PDA llama criterio de unicidad.

Nota práctica: si los tres puntos están alineados, las mediatrices salen paralelas y no se cruzan. No existe la circunferencia. Vale la pena que lo intenten y fallen.

El movimiento docenteContexto real: tres pueblos quieren un pozo (o una antena) que esté a la misma distancia de los tres. Es el mismo problema del bloque 6 con un pueblo más, y la continuidad la notan solos.

Distancia y desigualdad del triángulo

S26 – S27

PDA oficial

Introduce la idea de distancia entre dos puntos como la longitud del segmento que los une.
Encuentra la distancia de un punto a una recta y la distancia entre dos rectas paralelas.
Explora la desigualdad del triángulo.

Contenido 11 de 14 · primeros 3 PDA

Tú, antes de entrar

Por qué la distancia de un punto a una recta es la perpendicular: es la más corta, y hay que poder argumentarlo, no solo afirmarlo.
La desigualdad del triángulo como criterio de existencia: conecta directo con el bloque 6.

Trampa clásicaColar el teorema de Pitágoras porque "ya viene al caso". Pitágoras es de 3°; aquí la distancia se mide, no se calcula.

Ejemplo resuelto · ¿Cuál es la distancia de P a la recta? (medir varias y comparar)

Mide la distancia del punto P
a la recta r.

        P
       /|\  \
      / | \   \
     /  |  \    \
 ───┴───┴───┴────┴─── r
   4.8 4.2 4.5  5.6   (cm medidos)
        ↑
    la perpendicular

Todas son "distancias de P a r",
pero la PERPENDICULAR es la menor.
Esa es LA distancia.

 distancia(P, r) = 4.2 cm

Distancia entre dos paralelas

 ─────────────────── r
        │ 3 cm      │ 3 cm
 ─────────────────── s

 Mide la perpendicular en dos lugares
 distintos: da lo mismo. Por eso las
 paralelas tienen UNA distancia, y por
 eso son paralelas.

Desigualdad del triángulo
 De A a C directo ...... 7 cm
 De A a B y luego a C .. 4 + 5 = 9 cm
 Ir derecho siempre es más corto:
 AB + BC > AC

Explicación

En una fraseDe todos los caminos de un punto a una recta, el perpendicular es el más corto. Ese, y solo ese, es la distancia.

La secuencia importa: primero miden varias oblicuas y después descubren cuál es la menor. Si les dices de entrada "la distancia es la perpendicular", memorizan una frase; si miden cuatro segmentos y comparan, descubren un mínimo.

La desigualdad del triángulo es puro sentido común geométrico — el atajo no existe — y por eso conviene presentarla como recorrido, no como fórmula. Es la misma propiedad que hizo fallar el triángulo de 3, 4 y 8 en el bloque 6, ahora con nombre.

Y el ejercicio de las paralelas explica por qué la definición "las que nunca se cortan" es pobre: lo que las define operativamente es que la perpendicular entre ellas mide lo mismo en todas partes.

El movimiento docenteSácalos al patio. Un cono es P, una línea de la cancha es r. Que caminen cuatro trayectorias distintas contando pasos. La perpendicular gana siempre, y la conclusión la sacan con el cuerpo antes que con la regla.

Perímetro y área

S28 – S29

PDA oficial

Obtiene y aplica fórmulas o usa otras estrategias para calcular el perímetro y el área de polígonos regulares e irregulares y del círculo.

Contenido 11 de 14 · cuarto PDA

Tú, antes de entrar

Deducir el área del polígono regular como P·a / 2 descomponiéndolo en triángulos. El PDA dice "obtiene y aplica": la deducción es parte del contenido.
El área del círculo por descomposición en sectores. Y π como razón entre circunferencia y diámetro, no como el número 3.14.
Estrategias para irregulares: descomponer, completar, cuadricular.

Trampa clásicaDictar la lista de fórmulas. Es lo más rápido en marzo y lo más caro en mayo, cuando ya no distinguen perímetro de área.

Ejemplo resuelto · El área del hexágono sale de seis triángulos

Hexágono regular, lado 6 cm,
apotema 5.2 cm. Perímetro y área.

       ___
      /\  /\      Se parte en 6 triángulos
     /__\/__\     iguales, todos con:
     \  /\  /      base   = lado = 6
      \/__\/       altura = apotema = 5.2

Perímetro
 P = 6 × 6 = 36 cm

Área, contando triángulos
 un triángulo = (6 × 5.2) / 2 = 15.6
 seis triángulos = 6 × 15.6 = 93.6 cm²

La fórmula sale de ahí sola:
 A = 6 · (lado × apotema / 2)
 A = (6 · lado) × apotema / 2
 A = P × a / 2

Y funciona para cualquier polígono
regular: pentágono → 5 triángulos,
octágono → 8. La fórmula no cambia.

Explicación

En una fraseEl polígono regular se parte en triángulos iguales, y sumar sus áreas es la fórmula P·a/2. La fórmula solo abrevia el conteo.

Los dos renglones del medio son la clase entera: 6 · lado es el perímetro, y ahí la fórmula deja de ser una cadena de letras y se vuelve una abreviatura de algo que ya contaron. Nunca escribas P·a/2 antes de haber sumado los seis triángulos.

Que noten que la misma deducción sirve para todos los polígonos regulares. Una fórmula que se deduce una vez y se aplica a infinitos casos es una buena primera experiencia de lo que hace la generalización.

El movimiento docenteQue recorten el hexágono y lo partan con tijeras en los seis triángulos. Contar áreas de pedazos que tienen en la mano es distinto a aplicar una fórmula, y es lo que el PDA pide con la palabra "obtiene".

Ejemplo resuelto · π es una razón, no un número que se memoriza

Mide tres objetos redondos:
contorno y diámetro. Divide.

 objeto        contorno  diámetro   c/d
 lata          25.1 cm    8.0 cm   3.14
 moneda         6.3 cm    2.0 cm   3.15
 cubeta        94.0 cm   30.0 cm   3.13

Siempre da lo mismo: eso es π

 c / d = π   →   c = π·d = 2πr

Círculo de radio 7 cm:
 Perímetro = 2π(7) = 43.98 cm
 Área      = π(7)² = π(49) = 153.94 cm²

¿De dónde sale A = πr² ?
 Parte el círculo en muchos sectores
 y acomódalos alternados:

  ◣◤◣◤◣◤◣◤    queda casi un rectángulo
  de base  = medio perímetro = πr
  y altura = r
  → A = πr · r = πr²

Figura irregular (una L):
 rectángulo grande 10 × 6 = 60
 recorte           4 × 3  = 12
 área = 60 − 12 = 48 cm²

Explicación

En una fraseπ no es un número que alguien inventó: es lo que da el contorno dividido entre el diámetro, en cualquier objeto redondo.

La tabla de mediciones es indispensable. π deja de ser "3.14, el número raro" y se convierte en un hecho descubierto: el contorno siempre mide poco más de tres diámetros. Que las tres mediciones no den exactamente igual es parte de la lección, no un defecto: así es medir.

La descomposición en sectores es la única manera de que πr² tenga sentido a esta edad. El rectángulo que se forma tiene base πr — la mitad del contorno — y altura r. No es demostración formal y no importa: es una razón entendible.

Y el ejemplo de la L instala la estrategia general de figuras irregulares: descomponer o completar y restar. Casi cualquier figura de la vida real se resuelve con una de las dos.

El movimiento docenteCada equipo mide dos objetos redondos de casa y anota su cociente en una tabla común en el pizarrón. Ver treinta cocientes rondando el 3.14 es la mejor definición de π que van a recibir en su vida escolar.

Obtención y representación de información

S30

PDA oficial

Usa tablas, gráficas de barras y circulares para el análisis de información.

Contenido 12 de 14 · 1 PDA

Tú, antes de entrar

Construir la gráfica circular con transportador: aquí se cobra el bloque 5 (ángulos) y el 8 (porcentajes).
Cuándo barras y cuándo circular — y por qué una circular solo sirve si los datos son partes de un mismo total.
Escalas honestas en el eje vertical. Buen momento para analizar una gráfica engañosa de un periódico.

Trampa clásicaGráfica circular con datos que no suman un total, como temperaturas por mes. Sale bonita y no significa nada.

Ejemplo resuelto · De la encuesta del salón a la gráfica circular

¿Cómo llegan a la escuela los 30
alumnos del grupo?

 medio        alumnos   fracción   grados
 transporte     12       12/30    144°
 caminando       9        9/30    108°
 bicicleta       6        6/30     72°
 automóvil       3        3/30     36°
 ─────────────────────────────────────────
 total          30       30/30    360° ✓

Cómo se saca cada ángulo:
 12/30 × 360° = 0.4 × 360° = 144°
  9/30 × 360° = 0.3 × 360° = 108°

Con el transportador, uno tras otro
desde el mismo radio inicial.

        ______
      /   36° \      ← automóvil
     /  72°    \     ← bicicleta
    |    ·      |
     \  108°   /     ← caminando
      \ 144°  /      ← transporte
        ‾‾‾‾‾‾

La suma DEBE dar 360°. Si no da,
hay un error: es tu propia
comprobación.

Explicación

En una fraseCada categoría se lleva su fracción de los 360°. Si los ángulos no suman 360, hay un error: es su propia comprobación.

Los datos tienen que ser del propio grupo. Una encuesta inventada convierte el ejercicio en aritmética con disfraz; una encuesta real hace que discutan el resultado, que es de lo que trata el PDA cuando dice "para el análisis de información".

Aquí se juntan tres bloques anteriores: la fracción del bloque 2, el porcentaje del 8 y el ángulo del 5. Dilo en voz alta cuando pase — "esto es lo que medimos en octubre" — porque los alumnos no notan solos que las piezas se estaban acumulando.

Y que la suma dé 360° es la mejor verificación del año: autocorrección sin maestro.

El movimiento docentePide la misma información en barras y en circular, y luego pregunta cuál sirve mejor para responder "¿cuántos más caminan que van en bici?" (barras) y cuál para "¿qué parte del grupo usa transporte?" (circular). La gráfica se elige según la pregunta.

Tendencia central, frecuencias y rango

S31 – S32

PDA oficial

Determina e interpreta la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa, la media, la mediana y la moda en un conjunto de datos.
Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el rango de un conjunto de datos, y justifica con base en ellas sus decisiones.

Contenido 13 de 14 · 2 PDA

Tú, antes de entrar

Cuál medida conviene según la pregunta. El PDA pide justificar decisiones, no calcular tres números: prepara casos donde la media miente y la mediana no.
Mediana con cantidad par de datos, sin titubear.
La frecuencia relativa dicha como fracción, decimal y porcentaje — las tres, porque es el puente al bloque 17.

Trampa clásicaTres fórmulas y un ejercicio de cada una. El contenido pide criterio, y el criterio solo se enseña con datos donde las medidas discrepan.

Ejemplo resuelto · El sueldo "promedio" que no gana nadie

Sueldos en una empresa de 9 personas
(en miles de pesos):
 8, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 90

Media aritmética
 suma = 166
 media = 166 / 9 = 18.4

Mediana (dato de en medio)
 8, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 90
             ↑ 5° de 9
 mediana = 10

Moda (el que más se repite)
 moda = 8

Rango
 90 − 8 = 82

¿Cuánto gana la gente de esta empresa?
 "18.4 mil"  → cierto y engañoso:
              8 de 9 ganan MENOS que eso
 "10 mil"    → describe bien a la mayoría

El rango de 82 es la señal de alarma:
avisa que hay un dato muy lejos.

Mediana con cantidad PAR de datos
 4, 7, 9, 12  →  hay dos de en medio
 (7 + 9) / 2 = 8

Frecuencia relativa
 el 8 aparece 3 veces de 9 datos
 3/9 = 1/3 = 0.333... = 33.3%

Explicación

En una fraseUn solo dato muy grande jala la media pero no mueve la mediana. Por eso a veces la mediana describe mejor al grupo.

Este conjunto de datos hace todo el trabajo. La media y la mediana difieren tanto que la pregunta "¿cuál uso?" deja de ser retórica, y eso es exactamente lo que el segundo PDA pide cuando dice "justifica con base en ellas sus decisiones".

La media no está mal calculada ni es una medida defectuosa: es que un valor extremo la jala. La mediana no se mueve porque solo le importa la posición. Que expliquen esa diferencia con sus palabras es el objetivo de las dos semanas.

El rango entra aquí con un papel claro: no es un número más que calcular, es el indicio de que hay que desconfiar de la media.

El movimiento docenteDivide al grupo: unos son el dueño de la empresa que quiere presumir sueldos y otros el sindicato que negocia. Cada bando escoge la medida que le conviene y la defiende con datos. Nadie miente y nadie está de acuerdo — esa es la lección.

Azar y probabilidad

S33 – S34

PDA oficial

Compara cualitativamente dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usa relaciones como: "es más probable que…", "es menos probable que…".
Identifica eventos en los que interviene el azar, determina el espacio muestral y experimenta.
Identifica diversos procedimientos de conteo y resuelve problemas.

Contenido 14 de 14 · 3 PDA

Tú, antes de entrar

Enumerar bien un espacio muestral. El error emblemático: con dos dados, creer que las once sumas posibles son equiprobables.
Principio multiplicativo y diagrama de árbol, que es todo el "procedimiento de conteo" que pide 1°.
La comparación cualitativa va antes del número: el primer PDA es de lenguaje, no de cálculo.

Trampa clásicaAdelantar fórmulas de permutaciones y combinaciones, o las reglas de la suma y del producto. Esas son de 3°. En 1° se cuenta enumerando con orden.

Ejemplo resuelto · Dos dados: por qué el 7 sale más que el 2

Se lanzan dos dados y se suman.
¿Todas las sumas son igual de probables?

Casi todos dicen sí: "hay 11 sumas
posibles, del 2 al 12". Hagamos la tabla.

      1   2   3   4   5   6
   ┌────────────────────────
 1 │  2   3   4   5   6   7
 2 │  3   4   5   6  7   8
 3 │  4   5   6  7   8   9
 4 │  5   6  7   8   9  10
 5 │  6  7   8   9  10  11
 6 │ 7   8   9  10  11  12

 Casos totales: 6 × 6 = 36

 suma 2  → 1 caso  → 1/36
 suma 7  → 6 casos → 6/36 = 1/6
 suma 12 → 1 caso  → 1/36

El 7 es SEIS veces más probable que el 2.

Lo equiprobable son las 36 CASILLAS,
no las 11 sumas.

Conteo: principio multiplicativo
 3 blusas × 4 faldas × 2 zapatos = 24
 combinaciones distintas.

 blusa1 ─┬─ falda1 ─┬─ zapato1
         │          └─ zapato2
         ├─ falda2 ─ ...
         └─ ...

Explicación

En una fraseLo que es igual de probable son las 36 casillas, no las 11 sumas. El 7 aparece en 6 casillas y el 2 en una sola.

Este es el error conceptual más importante de todo el bloque, y lo cometen adultos con estudios. Confundir resultados con casos posibles. La tabla de 36 casillas lo resuelve de un golpe visual y no hace falta ninguna fórmula.

Empieza por la apuesta: que cada quien escriba qué suma cree que va a salir más y por qué. Luego lancen dados de verdad treinta o cuarenta veces y anoten en el pizarrón. El 7 gana, y la tabla explica por qué. Experimentar y luego contar es el orden que pide el PDA.

El principio multiplicativo se enseña con el árbol, no con la multiplicación: cuando ven que de cada blusa salen cuatro ramas y de cada rama dos más, el producto es evidente. En 1° no va nada más que esto.

El movimiento docenteAntes de la tabla, juego: tú apuestas al 7 y ellos eligen cualquier otra suma. Treinta tiros. Ganas casi siempre y quieren saber por qué. La curiosidad ya está puesta cuando saques la tabla.

Ahora va en	Tema
2°	Criterios de divisibilidad, números primos, máximo común divisor y mínimo común múltiplo
2°	Potencias con exponente entero, raíz cuadrada y notación científica
2°	Sucesiones cuadráticas, leyes de los exponentes, desigualdades y sistemas de dos ecuaciones
2°	Conversión de unidades y sistema inglés; perímetro y área de figuras compuestas
2°	Histogramas y gráficas poligonales; desviación media; probabilidad frecuencial y teórica
2°	Teselados; ángulos inscritos y centrales; polígonos regulares con regla y compás
3°	Teorema de Pitágoras y razones trigonométricas
3°	Congruencia y semejanza de triángulos; sólidos, desarrollos planos y volúmenes
3°	Ecuación cuadrática; reglas de la suma y del producto en probabilidad

Tu primera clase

Antes de entrar

Recíbelos de pie en la puerta

Espera el silencio. No hables encima del ruido.

Preséntate en sesenta segundos

El problema de los saludos

Las reglas: tres, con consecuencia, escritas

La ficha de media hoja

Cierra tú, no el timbre

Lo que no debes hacer el primer día

Tu primera semana, día por día

Estructura

Rutina y una victoria

Diagnóstico

Devolución

Arranca el bloque 2

Los seis reactivos que más te dicen en un diagnóstico

Cómo se reparten tus 50 minutos

Entrada con problema ya escrito

Puesta en común

Desarrollo

Práctica y tú caminando

Cierre con evidencia

Manejo de grupo: lo mínimo para sobrevivir el primer mes

Aprende diez nombres el primer día

Proximidad, mirada, palabra — en ese orden

"No entiendo nada" no es una pregunta

Espera el silencio, no lo pidas

Pregunta al grupo, no al voluntario

Ten un plan B en la bolsa

Seis preguntas que debes hacer en tu escuela esta semana

La ruta del año

Número, signo y trazo

Diagnóstico y puente

Fracciones ↔ decimales

Explicación

Explicación

Números con signo y su orden

Explicación

Explicación

Operaciones con signo, propiedades y jerarquía

Explicación

Explicación

Rectas y ángulos

Explicación

Regla y compás: construcción y clasificación

Explicación

Explicación

De la variación al álgebra

Proporcionalidad y funciones

Explicación

Explicación

Porcentajes

Explicación

Explicación

Regularidades y patrones

Explicación

Explicación

Introducción al álgebra

Explicación

Explicación

Ecuaciones lineales

Explicación

Explicación

Medida, datos y azar

Circunferencia y círculo

Explicación

Distancia y desigualdad del triángulo

Explicación

Perímetro y área

Explicación

Explicación

Obtención y representación de información

Explicación

Tendencia central, frecuencias y rango

Explicación

Azar y probabilidad

Explicación

Lo que NO va en 1°, aunque lo traigan los libros del plan anterior

Tu rutina de preparación semanal